150 JEE Main Maths MCQs on Calculus – Step-by-Step Solutions (Free PDF)

 150 JEE Main Maths MCQs on Calculus – Step-                 by-Step Solutions (Free PDF)

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🔹 Limits and Continuity (20 MCQs)

Limits & Continuity (20 MCQs)

1. limₓ→0 (sin x)/x =
   A) 0 B) 1 C) ∞ D) Does not exist
   Ans: B

2. limₓ→∞ (1 + 1/x)^x =
   A) 0 B) 1 C) e D) ∞
   Ans: C

3. limₓ→0 (1 - cos x)/x² =
   A) 1 B) ½ C) 0 D) Does not exist
   Ans: B

4. limₓ→0 (tan x - x)/x³ =
   A) 0 B) 1/3 C) 1 D) 1/6
   Ans: D

5. limₓ→π/2⁻ tan x =
   A) 0 B) 1 C) ∞ D) -∞
   Ans: ∞

6. limₓ→0 (e^x - 1)/x =
   A) 1 B) e C) 0 D) ∞
   Ans: A

7. If f(x) = |x|, then f(x) is
   A) Continuous everywhere B) Discontinuous at x = 0
   C) Differentiable everywhere D) None
   Ans: A

8. limₓ→0 (sin 3x)/(x) =
   A) 0 B) 3 C) 1 D) Does not exist
   Ans: B

9. f(x) = { x², x < 1 ; 2x - 1, x ≥ 1 } is continuous at x = 1?
   A) Yes B) No
   Ans: A

10. limₓ→a (x^n - a^n)/(x - a) =
    A) aⁿ⁻¹ B) naⁿ⁻¹ C) n D) a
    Ans: B

11. limₓ→0 (ln(1 + x))/x =
    A) 1 B) 0 C) e D) ∞
    Ans: A

12. limₓ→0 (1 - cos 2x)/x² =
    A) 2 B) 1 C) 4 D) None
    Ans: C

13. Function f(x) = |x - 2| is continuous at x = 2?
    A) Yes B) No
    Ans: A

14. limₓ→1 (x³ - 1)/(x - 1) =
    A) 1 B) 2 C) 3 D) None
    Ans: C

15. limₓ→∞ (ln x)/x =
    A) 0 B) ∞ C) 1 D) e
    Ans: A

16. limₓ→0 (1 - cos x)/x =
    A) 1 B) 0 C) ∞ D) Does not exist
    Ans: B

17. limₓ→a (√x - √a)/(x - a) =
    A) 0 B) 1 C) 1/(2√a) D) ∞
    Ans: C

18. limₓ→0 sin x / (1 - cos x) =
    A) ∞ B) 0 C) Does not exist D) Undefined
    Ans: A

19. f(x) = { sin x / x if x ≠ 0, 1 if x = 0 } is continuous at x = 0?
    A) Yes B) No
    Ans: A

20. limₓ→∞ (x + sin x)/x =
    A) 1 B) 0 C) ∞ D) Does not exist
    Ans: A

🔹 Differentiability (21–30)

21. If f(x) = |x|, then f(x) is differentiable at x = 0?
    A) Yes B) No C) Only right diff D) Only left diff
    Ans: B

22. f(x) = |x – 3| + |x + 3| is differentiable at x = 0?
    A) Yes B) No C) Continuous but not differentiable D) None
    Ans: C

23. Which function is not differentiable at x = 0?
    A) x² B) |x| C) sin x D) e^x
    Ans: B

24. f(x) = x⁴ is differentiable at x = 0?
    A) No B) Only right diff C) Yes D) Discontinuous
    Ans: C

25. f(x) = |x – 1| + |x – 2| is not differentiable at
    A) x = 1 B) x = 1, 2 C) x = 2 D) None
    Ans: B

26. If f(x) = max(x, –x), then f′(0) is
    A) Does not exist B) 0 C) 1 D) –1
    Ans: A

27. Differentiability implies
    A) Continuity only B) Not always continuity
    C) Continuity + left & right derivatives equal D) None
    Ans: C

28. Derivative of f(x) = |x³| is defined at x = 0?
    A) Yes B) No C) Only right diff D) Only left diff
    Ans: A

29. Function f(x) = |sin x| is not differentiable at
    A) π/2 B) π C) 0 D) All multiples of π
    Ans: D

30. Derivative of |x – 2| at x = 2 is
    A) 1 B) –1 C) Not defined D) 0
    Ans: C

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🔹 Applications of Derivatives (31–60)

31. If y = x³, then dy/dx at x = 2 is
    A) 2 B) 4 C) 12 D) 6
    Ans: C

32. Derivative of sin x² is
    A) cos x² B) 2x cos x C) 2x cos x² D) None
    Ans: C

33. Slope of tangent to y = x² at x = 1 is
    A) 0 B) 2 C) 1 D) 4
    Ans: B

34. Maximum value of –x² + 4x + 5 is at x =
    A) 2 B) –2 C) 0 D) 5
    Ans: A

35. If f′(x) > 0 for all x, then f is
    A) Decreasing B) Constant C) Increasing D) None
    Ans: C

36. If f′(x) = 0, f″(x) < 0, then
    A) Minima B) Inflection C) Maxima D) Saddle point
    Ans: C

37. Slope of normal to y = x² at x = 1 is
    A) –1 B) –½ C) –2 D) 1
    Ans: C

38. If y = tan⁻¹x, then dy/dx =
    A) 1/(1 + x²) B) 1/(1 – x²) C) x/(1 + x²) D) None
    Ans: A

39. Function f(x) = x³ – 3x has max at
    A) x = 1 B) x = 0 C) x = –1 D) x = ±1
    Ans: D

40. If f″(a) = 0, then a is
    A) Maxima B) Minima C) Not necessarily max/min D) Inflection
    Ans: C

🔹 Applications of Derivatives (AOD) Continued (41–60)

41. Minimum value of x² + 1 is at x =
    A) 0 B) 1 C) –1 D) ∞
    Ans: A

42. If y = ln(sin x), then dy/dx =
    A) cos x B) cot x C) –cot x D) 1/x
    Ans: B

43. If f(x) = e^x sin x, then f′(x) =
    A) e^x cos x B) e^x(sin x + cos x) C) e^x(sin x – cos x) D) None
    Ans: B

44. If f(x) = log x, then f′(x) =
    A) x B) 1/x C) ln x D) e^x
    Ans: B

45. Slope of tangent to curve y = x³ – x at x = 1 is
    A) 0 B) 2 C) 1 D) 3
    Ans: A

46. f(x) = x³ – 6x² + 9x has min value at
    A) x = 1 B) x = 3 C) x = 0 D) x = 2
    Ans: B

47. y = √(1 + x²), dy/dx =
    A) x/√(1 + x²) B) 1/(2√x) C) 1 D) √(1 + x²)
    Ans: A

48. If f(x) = tan x, then f′(x) =
    A) sec x B) sec²x C) cot x D) tan²x
    Ans: B

49. Point on y = x² closest to origin is
    A) (0, 0) B) (1, 1) C) (2, 4) D) (1/2, 1/4)
    Ans: A

50. Rate of change of area of circle w.r.t radius is
    A) π B) 2πr C) πr² D) None
    Ans: B

51. If f(x) = sin⁻¹x, then f′(x) =
    A) 1/√(1 – x²) B) √(1 – x²) C) x/√(1 – x²) D) None
    Ans: A

52. Maxima of f(x) = –x² + 6x – 8 is at x =
    A) 2 B) 3 C) 1 D) 4
    Ans: B

53. f(x) = x⁴ – 2x² has local minima at
    A) x = 0 B) x = ±1 C) x = ±2 D) x = 1
    Ans: B

54. Derivative of sec x is
    A) sec x tan x B) –sec x tan x C) sec²x D) None
    Ans: A

55. f(x) = x⁵ is
    A) Increasing everywhere B) Decreasing everywhere C) Constant D) None
    Ans: A

56. If f′(x) = 0 ∀ x ∈ ℝ, then f is
    A) Increasing B) Decreasing C) Constant D) None
    Ans: C

57. f(x) = x³ – 3x² – 9x + 27 has
    A) 1 max, 1 min B) 2 max C) 2 min D) None
    Ans: A

58. d/dx of log₁₀x is
    A) 1/x B) 1/(x ln10) C) ln x D) x ln10
    Ans: B

59. Max value of sin x + cos x is
    A) √2 B) 1 C) 2 D) 0
    Ans: A

60. Slope of curve y = ln x at x = 1 is
    A) 1 B) 0 C) ∞ D) e
    Ans: A

---

🔹 Indefinite Integration (61–90)

61. ∫x dx =
    A) x² B) x²/2 + C C) 1/x + C D) None
    Ans: B

62. ∫cos x dx =
    A) sin x + C B) –sin x + C C) tan x + C D) None
    Ans: A

63. ∫(1/x) dx =
    A) x²/2 B) ln|x| + C C) 1/x + C D) None
    Ans: B

64. ∫e^x dx =
    A) e^x + C B) ln x + C C) x e^x D) None
    Ans: A

65. ∫sec²x dx =
    A) tan x + C B) sec x + C C) –tan x + C D) None
    Ans: A

66. ∫1/(1 + x²) dx =
    A) ln|x| + C B) tan⁻¹x + C C) sin⁻¹x + C D) None
    Ans: B

67. ∫1/√(1 – x²) dx =
    A) sin⁻¹x + C B) cos⁻¹x + C C) tan⁻¹x + C D) None
    Ans: A

68. ∫x e^x dx =
    A) x e^x – ∫e^x dx B) x e^x – e^x + C C) e^x D) None
    Ans: B

69. ∫ln x dx =
    A) x ln x – x + C B) ln x + C C) 1/x + C D) None
    Ans: A

70. ∫tan x dx =
    A) ln|sec x| + C B) sec x + C C) tan x + C D) None
    Ans: A

🔹 Indefinite Integration (71–90)

71. ∫x³ dx =
    A) x⁴ + C B) x⁴/4 + C C) 3x² + C D) None
    Ans: B

72. ∫sec x dx =
    A) ln|sec x + tan x| + C B) tan x + C C) sec x tan x + C D) None
    Ans: A

73. ∫1/(1 – x²) dx =
    A) tan⁻¹x + C B) sinh⁻¹x + C C) (1/2) ln|(1 + x)/(1 – x)| + C D) None
    Ans: C

74. ∫x² e^x dx =
    A) (x² – 2x + 2)e^x + C B) e^x + x² + C C) x e^x – e^x + C D) None
    Ans: A

75. ∫(cos x)/(1 + sin x) dx =
    A) 2 tan⁻¹(√[(1 – sin x)/(1 + sin x)]) + C B) log|1 + sin x| + C
    C) sin x + C D) None
    Ans: B

76. ∫(1 + tan²x) dx =
    A) sec x + C B) tan x + C C) x + tan x + C D) tan⁻¹x + C
    Ans: C

77. ∫sin 2x dx =
    A) –½ cos 2x + C B) cos 2x + C C) –cos x + C D) None
    Ans: A

78. ∫1/(x² + a²) dx =
    A) (1/a) tan⁻¹(x/a) + C B) ln|x + a| + C C) x/(x² + a²) + C D) None
    Ans: A

79. ∫x/(x² + 1) dx =
    A) x² + C B) ln(x² + 1) + C C) ½ ln(x² + 1) + C D) tan⁻¹x + C
    Ans: C

80. ∫x/(√(1 + x²)) dx =
    A) √(1 + x²) + C B) ln|x| + C C) tan⁻¹x + C D) None
    Ans: A

81. ∫sin³x dx =
    A) (–cos x)(1 – sin²x)/3 + C B) –cos x + C C) –sin x + C D) None
    Ans: A

82. ∫e^(2x) dx =
    A) e^(2x)/2 + C B) 2e^x + C C) e^x + C D) None
    Ans: A

83. ∫dx/(x√(x² – 1)) =
    A) sec⁻¹x + C B) tan⁻¹x + C C) ln|x| + C D) None
    Ans: A

84. ∫(2x + 1)² dx =
    A) (2x + 1)³/3 + C B) 4x² + 4x + 1 + C C) (4x³/3) + C D) None
    Ans: A

85. ∫cos²x dx =
    A) (x + sin x cos x)/2 + C B) (x/2 + sin 2x/4) + C C) sin x + C D) None
    Ans: B

86. ∫1/√(x² – a²) dx =
    A) ln|x + √(x² – a²)| + C B) tan⁻¹(x/a) + C C) sinh⁻¹x + C D) None
    Ans: A

87. ∫x⁴ dx =
    A) x⁵/5 + C B) 5x⁴ + C C) x⁴ + C D) None
    Ans: A

88. ∫dx/(√(a² – x²)) =
    A) sin⁻¹(x/a) + C B) tan⁻¹(x/a) + C C) cos⁻¹(x/a) + C D) None
    Ans: A

89. ∫(x + 1)/(x² + 2x + 2) dx =
    A) ln(x² + 2x + 2) + tan⁻¹(x + 1) + C B) ln|x + 1| + C
    C) tan⁻¹(x) + C D) None
    Ans: A

90. ∫(x – 1)/(x² – 2x + 2) dx =
    A) ½ ln(x² – 2x + 2) + tan⁻¹(x – 1) + C B) ln x + C
    C) tan x + C D) None
    Ans: A

🔹 Definite Integration (91–115)

91. ∫₀¹ x dx =
    A) 1 B) 0.5 C) 1.5 D) 2
    Ans: B

92. ∫₀^π sin x dx =
    A) 2 B) 1 C) 0 D) None
    Ans: A

93. ∫₀² (x²) dx =
    A) 4 B) 8/3 C) 2 D) 6
    Ans: B

94. ∫₀¹ (3x² + 2x + 1) dx =
    A) 3 B) 2 C) 11/6 D) 1
    Ans: C

95. ∫₁^e (1/x) dx =
    A) e B) ln e C) 1 D) ln 2
    Ans: C

96. ∫₀^π/2 cos x dx =
    A) 0 B) 1 C) 2 D) π
    Ans: B

97. ∫₀^π sin²x dx =
    A) π/2 B) π/4 C) 1 D) 2
    Ans: A

98. ∫₀^π |sin x| dx =
    A) 1 B) 0 C) 2 D) 4
    Ans: C

99. ∫₀^1 x³ dx =
    A) 1/4 B) 1/3 C) 1/2 D) 1
    Ans: A

100. ∫₀^π x sin x dx =
     A) 0 B) π C) 2π D) π²
     Ans: B

101. ∫₀^1 (x⁵ – x⁴) dx =
     A) 0 B) 1/30 C) 1/6 D) 1/12
     Ans: B

102. ∫₋₁¹ x² dx =
     A) 0 B) 1/3 C) 2/3 D) 1
     Ans: C

103. ∫₀^a f(x) dx = ∫₀^a f(a – x) dx is true for:
     A) Even functions only B) Odd functions only C) Any function D) Symmetric limits
     Ans: C

104. ∫₀^π sin³x dx =
     A) 4/3 B) 0 C) 2 D) 3
     Ans: A

105. ∫₀^π/2 ln(sin x) dx =
     A) 0 B) –π ln 2 / 2 C) π/2 D) 1
     Ans: B

106. ∫₀^a f(x) dx = a f(a/2) is true for
     A) Constant functions B) Linear functions C) Symmetric functions D) None
     Ans: A

107. ∫₀^1 √x dx =
     A) 2/3 B) 1/2 C) 1/3 D) 1
     Ans: A

108. ∫₁^2 1/x dx =
     A) ln 2 B) ln x C) 1 D) 2
     Ans: A

109. ∫₀^π x cos x dx =
     A) 0 B) π C) –π D) π/2
     Ans: A

110. ∫₀^1 e^x dx =
     A) e – 1 B) e C) 1 D) ln e
     Ans: A

111. ∫₋π^π sin x dx =
     A) 0 B) 2 C) –2 D) π
     Ans: A

112. ∫₋a^a x² dx =
     A) 0 B) 2a³/3 C) a³/3 D) a²
     Ans: B

113. ∫₀^a x(a – x) dx =
     A) a³/6 B) a²/2 C) a³/2 D) a³/3
     Ans: A

114. ∫₀^π sin x cos x dx =
     A) 0 B) 1 C) π/2 D) π
     Ans: A

115. ∫₀^π/2 sin x dx =
     A) 1 B) 0 C) π/2 D) 2
     Ans: A

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🔹 Area Under Curve (116–130)

116. Area under y = x from x = 0 to 1 is
     A) 1 B) 1/2 C) 2 D) 0
     Ans: B

117. Area between y = x and y = x² from 0 to 1 is
     A) 1/6 B) 1/3 C) 1/4 D) 1
     Ans: A

118. Area under y = |x| from –1 to 1 is
     A) 0 B) 1 C) 2 D) None
     Ans: C

119. Area under y = cos x from 0 to π/2 is
     A) 1 B) 0 C) π/2 D) 2
     Ans: A

120. Area bounded by y = sin x and x-axis from 0 to π is
     A) 0 B) 2 C) 1 D) 0
     Ans: C

121. Area under y = x² from 0 to 2 is
     A) 8/3 B) 4/3 C) 2 D) 4
     Ans: A

122. Area between y = x² and y = 2x from 0 to 2 is
     A) 4/3 B) 2 C) 1 D) 8/3
     Ans: A

123. Area under y = tan x from 0 to π/4 is
     A) ln 2 B) 1 C) π/4 D) None
     Ans: A

124. Area between y = e^x and x-axis from 0 to 1 is
     A) e – 1 B) 1 C) e D) ln e
     Ans: A

125. Area under y = 1/x from 1 to e is
     A) 1 B) e – 1 C) ln e D) ln 2
     Ans: A

126. Area bounded by y = sin x and y = cos x between 0 and π/4 is
     A) 0 B) 1/2 C) √2/2 – 1/2 D) None
     Ans: C

127. Area under y = 3 from x = 0 to 2 is
     A) 3 B) 6 C) 1 D) 2
     Ans: B

128. Area under curve y = 2x + 1 from 0 to 3 is
     A) 12 B) 15 C) 18 D) 10
     Ans: B

129. Area between y = x and y = 2x – x² is
     A) 1/6 B) 1/4 C) 1/2 D) None
     Ans: A

130. Area bounded by y = x² and y = 4x – x² is
     A) 8 B) 9 C) 10 D) 6
     Ans: A

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🔹 Differential Equations (131–150)

131. dy/dx = x implies y =
     A) x² B) x²/2 + C C) ln x D) 2x
     Ans: B

132. dy/dx = ky ⇒ y =
     A) e^(kx) B) xk C) kx D) Ce^(kx)
     Ans: D

133. Solution of dy/dx = y² is
     A) –1/y = x + C B) y = e^x C) y = x² D) None
     Ans: A

134. dy/dx + y = 0 ⇒ y =
     A) Ce^(–x) B) e^x C) 1/x D) x²
     Ans: A

135. If dy/dx = 3x² and y = 1 when x = 0, then y =
     A) x³ + 1 B) x³ C) x² + 1 D) None
     Ans: A

136. dy/dx = x/y is a
     A) Linear DE B) Variable separable C) Homogeneous D) Both B and C
     Ans: D

137. d²y/dx² = 0 implies y is
     A) Constant B) Linear C) Quadratic D) Cubic
     Ans: B

138. d²y/dx² = –y is equation of
     A) SHM B) Damped motion C) Growth D) Decay
     Ans: A

139. General solution of dy/dx = e^x is
     A) e^x + C B) ln x + C C) x²/2 D) None
     Ans: A

140. dy/dx = x/y ⇒ solution is
     A) y² = x² + C B) y = x² C) y = ln x D) None
     Ans: A

141. dy/dx = y tan x ⇒ solution is
     A) y = C sec x B) y = C cos x C) y = C sec x D) None
     Ans: C

142. d²y/dx² = 0 ⇒ general solution is
     A) y = Ax + B B) x² C) y = C D) None
     Ans: A

143. dy/dx = y cot x ⇒ y =
     A) C sin x B) C cot x C) C tan x D) None
     Ans: A

144. dy/dx + y tan x = 0 ⇒ y =
     A) C sec x B) C cos x C) C sin x D) None
     Ans: B

145. dy/dx = sin x ⇒ y =
     A) –cos x + C B) cos x + C C) tan x D) None
     Ans: A

146. dy/dx = 2x + 3, y(0) = 1 ⇒ y =
     A) x² + 3x + 1 B) x² + 3x + C C) x + 1 D) None
     Ans: A

147. d²y/dx² = 4 ⇒ y =
     A) 2x² + Cx + D B) x² + C C) 4x + C D) None
     Ans: A

148. dy/dx = x² + y² ⇒
     A) Not linear B) Linear C) Constant D) None
     Ans: A

149. dy/dx = x + y ⇒ solution uses
     A) Integrating factor B) Substitution C) Variable separable D) None
     Ans: B

150. dy/dx = y/x ⇒ solution is
     A) y = Cx B) y = ln x C) y = x + C  D) None

     Ans: A

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